L'uso principale originale delle trasformate di Laplace era (ed è) quello di risolvere problemi di valore iniziale per equazioni differenziali lineari ordinarie e parziali. Possono ridurre le equazioni differenziali ordinarie a equazioni algebriche, e le equazioni differenziali parziali a ode. Le equazioni trasformate sono più facili da risolvere, e poi la soluzione nel dominio di Laplace viene ritrasformata nel dominio del tempo, di solito consultando una tabella di trasformate di Laplace inverse; se necessario valutando l'integrale di contorno di Bromwich nel piano complesso.
Le tecniche di trasformazione di Laplace hanno reso rigorosi i precedenti metodi operatori ad hoc, in cui il differenziale rispetto al tempo è sostituito da un operatore D, dove 1/D è l'integrazione. L'operatore D viene poi trattato come se fosse una quantità algebrica.
La tecnica degli operatori fu pienamente sviluppata dal fisico Oliver Heaviside nel 1893, in relazione al suo lavoro sulla telegrafia. Guidato fortemente dall'intuizione e dalla sua ricca conoscenza della fisica dietro i suoi studi sui circuiti, Heaviside sviluppò il calcolo operazionale ora attribuito al suo nome.
Una giustificazione matematica rigorosa dei metodi operazionali di Heaviside venne solo dopo il lavoro di Bromwich che mise in relazione il calcolo operazionale con i metodi di trasformazione di Laplace.
Risposta basata su materiale in Wikipedia, così come la mia esperienza nell'uso delle trasformate di Laplace dal 1967.