Non puoi farlo "senza alcun software".
iOS è un software.
Windows è un software.
Il file manager che hai usato su Windows/Linux con il tuo telefono Android era un software.
Il sistema operativo Android è un software.
Sospetto che la tua vera lamentela sia che non esiste iTunes per Linux, dato che non c'è davvero nessun altro motivo per non usare iTunes.
Potresti sempre usare iCloud. C'è iCloud per Windows; per Linux, dovresti usare un browser moderno, come Chrome, su Linux, e puntarlo su iCloud.com.
Se hai bisogno di sincronizzare la posta elettronica, puoi farlo con qualsiasi client IMAP4; Apple ha un articolo della knowledge base che ha le impostazioni da usare per questo.
Se si volesse veramente, però, far apparire l'iPhone come se fosse un dispositivo di archiviazione di massa al proprio sistema Linux o Windows (o Mac OS X)...
Ci sono diverse opzioni; tutte richiedono il jailbreak dell'iPhone.
Sfortunatamente per le tue esigenze: sia il software per il jailbreak, sia le applicazioni che dovresti installare su un iPhone jailbroken per fare questo?
Sono software.
Se si scopre che ti va bene il software, però...
Potresti prendere in considerazione SpiderOak, Google Drive, o Dropbox, come servizio di condivisione file, se non ti va bene iCloud.
P.S.: Anche Microsoft OneDrive non supporta Linux; quindi ti ritroverai con la stessa domanda, se usi un telefono Windows invece di un iPhone.