Sto assumendo che tu voglia la via più semplice, e non vuoi impegnarti a comprare un controller hardware.
Se vuoi mixare dal vivo ed eventualmente registrare i tuoi set, Virtual DJ -come altri hanno suggerito- è una buona opzione. Non sono un fan, ma capisco che è popolare tra i principianti, e l'ultima versione sembra essere un aggiornamento significativo (non l'ho ancora testata). Preferisco (e uso) Cross DJ di MixVibes. C'è anche una versione gratuita. I due principali contendenti in questo campo sono Traktor e Serato, ma è sicuramente necessario un controller hardware per entrambi. Direi che anche per Cross e Virtual DJ, ma YMMV.
Ci sono anche versioni di Cross DJ per iOS e Android, che potrebbero essere molto più divertenti, dato che mixare con mouse e tastiera non è l'esperienza più gratificante, mentre l'interfaccia touch screen delle versioni mobili è molto ben progettata e si possono ottenere buoni risultati con una curva di apprendimento morbida e breve.
Se vuoi fare un lavoro "da studio", e modificare il tuo mix in modo non in tempo reale, non prenderei la strada di Audacity come suggerisce Shim On Um, perché le cose che puoi certamente realizzare con un normale editor audio o anche con una DAW richiedono molto più lavoro che con un software specializzato.
MAGIX ACID (precedentemente della Sony) è un software di produzione musicale che funziona bene con la costruzione di DJ set. Si ottiene un controllo molto dettagliato sui risultati finali, a spese di una certa complessità (ma molto meno che lavorare con una normale DAW). Sfortunatamente, al giorno d'oggi non esiste una versione gratuita.
Un'altra opzione è MixMeister. Il paradigma è simile a quello di Acid, ma specificamente per la produzione di DJ set. Lo trovo buono, ma costoso. Non molto tempo fa, ho trovato MixTape Pro, che ha molte delle caratteristiche significative di MixMeister (anche suonare dal vivo mentre si manipola il mix, cosa che MixMeister ha solo sulla versione più costosa) per meno soldi. Intendiamoci, è solo per Mac.
Ma le ricompense arrivano per coloro che non hanno TL;DR e sono arrivati a questo punto. Qualche tempo fa c'era questo strano hardware per DJ chiamato Pacemaker. Non hanno ottenuto un grande successo, e ora vendono un'app per iOS. Ma il loro software di accompagnamento per quel dispositivo permette effettivamente di costruire DJ set (stile studio, non "live"). È più che decente, il flusso di lavoro è molto ben pensato, il set di funzioni è sufficiente, ed è disponibile gratuitamente per Mac o PC qui. Poiché il progetto è stato abbandonato, non aspettatevi aggiornamenti o supporto, il che è triste. Ma ho già fatto alcuni set con esso, e sta diventando la mia arma di scelta per il lavoro in studio su lavori non complessi per DJ (per il refactoring severo delle tracce preferirei andare su Acid, RemixLive di MixVibes, o anche Ardour (lo so, ho sconsigliato le DAW, ma...).
Quindi, in poche parole: per il mixaggio dal vivo potresti evitare completamente il PC e usare il tuo cellulare o tablet con Cross DJ e divertirti molto. Per il mixaggio in studio, procurati Pacemaker e divertiti finché dura. Attenzione, però: potresti ritrovarti a divertirti così tanto che presto ti ritroverai a comprare dei controller hardware.