- Se una funzione è monotòna (cioè strettamente crescente o strettamente decrescente) allora la funzione è invertibile.
- Se l’equazione y=f(x) risolta rispetto ad x ammette una sola soluzione per qualsiasi valore di y, allora la funzione è invertibile.
Le funzioni svolgono un ruolo fondamentale in matematica e sono utilizzate per modellare vari fenomeni del mondo naturale. La capacità di invertire una funzione è importante in diverse aree della matematica, tra cui il calcolo, le equazioni differenziali e l’algebra lineare. Una funzione invertibile è una funzione che ha un’unica inversa che mappa ogni uscita della funzione originale con un unico ingresso. In questo articolo, discuteremo come determinare se una funzione è invertibile.
Una funzione f(x) è invertibile se e solo se è sia iniettiva che surgiva. L’iniettività significa che ogni ingresso mappa un’unica uscita, mentre la surgività significa che ogni uscita ha almeno un ingresso corrispondente. Una funzione che non è iniettiva avrà due o più ingressi che mappano la stessa uscita, mentre una funzione che non è surgiettiva avrà una o più uscite che non hanno un ingresso corrispondente.
Un modo per determinare se una funzione è invertibile è esaminare il suo grafico. Se una funzione f(x) è iniettiva, il suo grafico supererà il test della linea orizzontale, ovvero nessuna linea orizzontale intersecherà il grafico più di una volta. Se una funzione f(x) è suriettiva, il suo grafico coprirà l’intero intervallo della funzione. Se una funzione supera il test della linea orizzontale e copre l’intero intervallo della funzione, è invertibile.
Un altro metodo per determinare se una funzione è invertibile è esaminare la sua derivata. Se una funzione f(x) è differenziabile e la sua derivata è sempre positiva o sempre negativa, è iniettiva e quindi invertibile. Se la derivata è zero in qualsiasi punto, la funzione non è iniettiva e quindi non è invertibile.
Una funzione con un parametro è invertibile se e solo se il parametro è tale che la funzione è iniettiva e surgiva. In altre parole, deve esistere un valore unico del parametro che renda la funzione invertibile. Se non esiste tale valore, la funzione non è invertibile.
Infine, una funzione che è sia iniettiva che soggettiva è detta biiettiva. Una funzione biiettiva è invertibile e anche la sua inversa è una funzione. L’inversa di una funzione biiettiva f(x) è indicata con f^-1(x) ed è definita come la funzione che mappa ogni uscita di f(x) nel suo corrispondente ingresso.
In conclusione, una funzione è invertibile se e solo se è sia iniettiva che soggettiva. Il grafico di una funzione può aiutare a determinare se essa è iniettiva e surgiettiva, così come la sua derivata. Una funzione con un parametro è invertibile se e solo se il parametro è tale che la funzione è iniettiva e soggettiva. Infine, una funzione biunivoca è invertibile e anche la sua inversa è una funzione.
Una funzione è suriettiva se ogni elemento dell’intervallo della funzione è mappato da almeno un elemento del dominio. In altre parole, per ogni y nell’intervallo della funzione, esiste una x nel dominio della funzione tale che f(x) = y.
Per esempio, la funzione f(x) = x^2 non è suriettiva perché non c’è una x nel dominio che sia mappata su un numero negativo nell’intervallo. Tuttavia, la funzione g(x) = e^x è proiettiva perché ogni numero positivo nell’intervallo può essere mappato da qualche x nel dominio.
Per determinare se una funzione è iniettiva o uno-a-uno, è possibile utilizzare il test della linea orizzontale. Se una linea orizzontale interseca il grafico della funzione al massimo una volta, allora la funzione è iniettiva. Un altro modo per verificare l’iniettività è quello di utilizzare metodi algebrici come la ricerca della derivata della funzione e il controllo del suo segno. Se la derivata è sempre positiva o sempre negativa, allora la funzione è iniettiva.
Una funzione è iniettiva se mappa elementi distinti del suo dominio in elementi distinti del suo intervallo. In altre parole, nessun elemento distinto del dominio della funzione viene mappato sullo stesso elemento dell’intervallo. Questa proprietà è nota anche come proprietà uno-a-uno di una funzione. Una funzione è invertibile se e solo se è sia iniettiva che surgiettiva, ovvero se ogni elemento dell’intervallo della funzione è mappato esattamente su un elemento del dominio.