Se ti riferisci all'app integrata Notes, la risposta è che non si può, almeno non realisticamente. Non c'è un modo diretto per farlo, affatto.
Prima di iOS 9, Notes utilizzava il protocollo IMAP (lo stesso utilizzato per la posta elettronica) per sincronizzare le note, e infatti le note erano memorizzate in una cartella IMAP sul vostro iCloud o altro account di posta elettronica. In iOS 9, IMAP è ancora utilizzato per gli account non iCloud, tuttavia iCloud ha ora cucinato il proprio protocollo per sincronizzare le note con il cloud e altri dispositivi.
Apple non ha rilasciato questo protocollo, e infatti non lo supporta nemmeno o lo usa per qualsiasi cosa che non sia iCloud (se si configura Notes per un account non iCloud, funziona ancora come prima di iOS 9.
In teoria, si potrebbe probabilmente trovare una soluzione di terze parti che sincronizzi una cartella da un negozio IMAP a una cartella su Dropbox, ma questo non sarebbe davvero un modo pratico di affrontare il problema. Avreste bisogno di costruire ed eseguire qualcosa sul vostro computer che faccia la sincronizzazione, o dovreste trovare un servizio di terze parti e dargli il vostro iCloud (o altro account di posta elettronica) e le credenziali di Dropbox per eseguire la sincronizzazione per voi.
Sarebbe molto meglio trovare un'applicazione di terze parti per prendere appunti sull'App Store che offra la sincronizzazione con Dropbox - so che ce ne sono alcune che lo fanno, anche se non riesco a ricordarne nessuna specifica così su due piedi.